Risoluzione dell'equazione cubica

Massimo Fantin 2003

Si vuole risolvere l'equazione cubica o di terzo grado completa
(1) x3 + a x 2 + b x + c = 0

Per questo poniamo y = x + a/3 o che è lo stesso x = y -a/3, che sostituito nell'equazione (1) e, dopo aver semplificato si ottiene:

(2) y3 + ( b - a2/3 ) y + c - a b /3 + 2 a3 /27 = 0

che, rispetto alla (1) ha il vantaggio di essere priva del termine di secondo grado.

Posti (3) p = b - a2/3 ; q= c- a b /3 + 2 a3 /27 l'equazione si scrive

(4) y3 +p x +q = 0.

Per risolvere la (4) poniamo y = m + n che sostituiamo nella (4) per ottenere dopo semplici riduzioni:

(5) m3 + n3 + ( 3 m n + p) ( m + n ) + q = 0

Se poniamo (6) m3 + n3 = -q ; m n = - p/3 la (5) è identicamente verificata pertanto per risolvere la (4) è sufficiente determinare due numeri m, n tali che soddisfino la (6) , questo si ottiene risolvendo il sistema simmetrico:

(7) m3 + n3 = -q ; m3n3= -p3/27 che si risolve mediante l'equazione

(8) z2 + q z - p3/27 =0

le cui soluzioni sono z = -q / 2 ± Ö (q2 / 4 + p3 / 27)

da cui la soluzione della (4) è

(9) y = m + n = 3Ö (-q / 2 + Ö (q2 / 4 + p3 / 27)) + 3Ö (-q / 2 - Ö (q2 / 4 + p3 / 27))

Distinguiamo due casi a secondo del segno del discriminante :

(10) D = q2 / 4 + p3 / 27

Primo caso D £ 0

Si devono sommare le radici cubiche di due numeri complessi; per fare questo li trasformiamo in forma esponenziale ponendo r =Ö -p3/27 ; q = argomento( -q/2 + i Ö -D).
Dove per argomento(x + i y) si intende atan(y/x) se x>0 e atan(y/x)+p se x<0.

Le soluzioni della (4) in questo caso sono date da
y1 = 2 3Ö r cos(q /3) ; y2 = 2 3Ö r cos( q/3 + 2/3 p ) ; y3 = 2 3Ö r cos( q/3 + 4/3 p ) ;

 

Secondo caso D>0

Si pongono m = 3Ö (-q / 2 + Ö (q2 / 4 + p3 / 27)) ed n=3Ö (-q / 2 - Ö (q2 / 4 + p3 / 27)), le tre soluzioni sono :

y1 = m + n,

y2 = - 1/2 ( m + n ) + i Ö 3/2 ( m - n )

y3 = -1/2 ( m + n ) - i Ö 3/2 ( m - n )

Determinate le soluzioni della y si passa alla x mediante x = y - a/3

I radicali doppi cubici m ed n possono essere calcolati numericamente ma esiste la possibilità, quando sono riducibili di scriverli come somma o differenza di un termine razionale e di un radicale quadratico.

Dato il radicale doppio cubico

3Ö (a+Ö b) sarà riducibile se il radicando cubico è un cubo cioè se a +Ö b = ( x + Ö y)3 = x3 + 3 xy + ( 3x2 + y )Ö y, cioè se:

(11) a = x (x2+3y) ; b = y (3x2 + y )2 . Questo sistema non può essere risolto in generale però poiché ci interessano solo le soluzioni razionali si può pensare di scomporre a come prodotto di due fattori x ed a che si ipotizza sia x2+3y da cui si calcola y = (a -x2)/3 e infine si verifica se y è un fattore di b e se x e y soddisfano le due condizioni (11), se questo non avviene si prova con un'altra scomposizione di a fino a che non si trova la soluzione oppure si verifica che il radicale cubico è irriducibile.

Esempio 3Ö (26+Ö 675)

Si scompone 26 =2*13 si suppone x =2 e y =(13-4)/3=3 , si verifica la seconda delle condizioni (11)

675 =3(3 22+3)2

pertanto il radicale doppio cubico si riduce: 3Ö (26+Ö 675) = 2 + Ö 3.

 

Per Risolvere numericamente l'equazione cubica inserire i coefficienti a,b,c dell'equazione (1) x3 + a x 2 + b x + c = 0

nelle celle sottostanti e cliccare sulle celle vuote per ottenere i risultati parziali e totali

a = b = c =

p = q =

delta =

ro= teta =

m = n =

y1 = +i y2 = +i y3 = +i

x1 = +i x2 = +i x3 = +i